二进制Stirling数

众所周知,杨辉三角就是如下的递推关系: C(0,0)=C(n,0)=C(n,n)=1,C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。或者如下所示:11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1……将所有数模二得到:11 11 0 11 1 1 11 0 0 0 1……据此作出图像如下:

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Stirling数,又称为斯特灵数。在组合数学,Stirling数可指两类数,都是由18世纪数学家James Stirling提出的。第一类Stirling数是有正负的,其绝对值是包含n个元素的集合分作k个环排列的方法数目。递推公式为,S(n,0) = 0,S(1,1) = 1.S(n+1,k) = S(n,k-1) + nS(n,k)。第二类Stirling数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。递推公式为,S(n,n) = S(n,1) = 1,S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).


对第一类Stirling数做相同的处理,作出如下的图像:

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如果你对分形有一些了解的话,你会发现,上面两幅图像均有分形结构,而且,和著名的Sierpinski垫片有一丝相像。 这其中还会有什么奥妙呢?斐波那契序列是二阶递推序列,杨辉三角,Stirling序列

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应该称之为“二维递推序列”乎?不同之系数对应不同形状之Sierpinski垫片,具体关系又是如何呢?值得研究一下。