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分形之美

数学天地 第四度 7年前 (2013-08-07) 87次浏览 0个评论 扫描二维码

fractal

你听说过分形吗?你对分形有所了解吗?如果你的答案是“没听过”或“不了解”,我想,这篇文章对你来说,值得一读。

分形,不严格地说,就是某些几何图形,有以下几个特点:

  1. 自相似性
  2. 处处不规则
  3. 具有无限精细结构

什么是“自相似”呢?顾名思义,就是一个图形自身和它的某一部分相似。相信很多人小时候都见过这样的书:书的封面是一个小人儿,手里拿着的还是这本书;自然地,小人儿手里书的封面上还是同样的书。如果一直下去,你将会看到无穷无尽的小人和无穷无尽的书。这就是自相似性:书本身和小人儿手里的书相似。是不是很神奇呢?这样的例子还有很多,再比如参天大树本身和它的一个分支就具有相似性等等。

让我们看几个经典分形的例子。

  1. 康托尔三分集。作一条线段,然后把中间三分之一擦去,就得到了等长的两条线段。然后再分别把每条线段的中间三分之一擦去,得到四条线段……这样一直进行下去,会得到什么呢?也许你以为是无穷多个线段,其实是无穷多个点。这无穷多个点组成的集合就被称之为康托尔三分集。它是1883年,由德国数学家康托尔构造的。康托尔集合是自相似的,整体与部分相似。
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  2. 科赫曲线。同上面类似,作一条线段,然后把中间三分之一擦去,但还要用等边三角形的两条边补上去,得到连续的四条线段,再对每段线段重复同样的操作,无限进行下去,就会得到科赫曲线。这是一条连续的、处处不光滑的、无限长的曲线。如果开始用等边三角形的话,就会得到类似雪花的曲线,称之为科赫雪花。从它们的构造方法来看,科赫曲线和科赫雪花都是分形。
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  3. 曼德勃罗集。曼德勃罗集是在复平面上的一个点集,是最著名的分形。曼德勃罗集可以用复数域上的二次多项式f(z)=z^2+c来定义。其中c是一个复参数。
    对于每一个复平面上的数c,从z=0开始对f(z)进行迭代序列 (0, f(0), f(f(0)), f(f(f(0))), …….)如果这个序列有极限,那么我们就在复平面c点处点一黑点;如果这个序列没有极限,点一个白点。最后出来的图形就如下所示,这就是曼德勃罗集。它和它的每一个边界的小突起相似。
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  4. 谢宾斯基三角形1915~1916年,波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面,构造出谢尔宾斯基 “垫片”: 设E0是边长为1的等边三角形区域,将它均分成四个小等边三角形,去掉中间一个得E1,对E1的每个小等边三角形进行相同的操作得E2,……,这样的操作不断继续下去直 到无穷,最终所得的极限图形F称为谢尔宾斯基“垫片.
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分形又由何而来呢?1973年,曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意具有不规则、支离破碎的含义,分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。

由于不规则现象在自然界是普遍存在的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学。自然界里一定程度类似分形的事物有云、山脉、闪电、海岸线和雪片等等。分形几何建立以后,很快就引起了许多学科的关注。这是由于它不仅在理论上,而且在实用上都具有重要价值。当然,最为奇美的还是在电脑上绘出的五彩缤纷的分形图案。正如分形之父曼德勃罗所言,“每个第一次见到分形的人都会为之震撼”。

分形的软件下了无数个,但最后只剩下一个自认为最好的xaos,有兴趣的可以看一下,内含一份中文的说明。


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