分形之美

fractal

你听说过分形吗?你对分形有所了解吗?如果你的答案是“没听过”或“不了解”,我想,这篇文章对你来说,值得一读。

分形,不严格地说,就是某些几何图形,有以下几个特点:

  1. 自相似性
  2. 处处不规则
  3. 具有无限精细结构

什么是“自相似”呢?顾名思义,就是一个图形自身和它的某一部分相似。相信很多人小时候都见过这样的书:书的封面是一个小人儿,手里拿着的还是这本书;自然地,小人儿手里书的封面上还是同样的书。如果一直下去,你将会看到无穷无尽的小人和无穷无尽的书。这就是自相似性:书本身和小人儿手里的书相似。是不是很神奇呢?这样的例子还有很多,再比如参天大树本身和它的一个分支就具有相似性等等。

让我们看几个经典分形的例子。

  1. 康托尔三分集。作一条线段,然后把中间三分之一擦去,就得到了等长的两条线段。然后再分别把每条线段的中间三分之一擦去,得到四条线段…...这样一直进行下去,会得到什么呢?也许你以为是无穷多个线段,其实是无穷多个点。这无穷多个点组成的集合就被称之为康托尔三分集。它是1883年,由德国数学家康托尔构造的。康托尔集合是自相似的,整体与部分相似。
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  2. 科赫曲线。同上面类似,作一条线段,然后把中间三分之一擦去,但还要用等边三角形的两条边补上去,得到连续的四条线段,再对每段线段重复同样的操作,无限进行下去,就会得到科赫曲线。这是一条连续的、处处不光滑的、无限长的曲线。如果开始用等边三角形的话,就会得到类似雪花的曲线,称之为科赫雪花。从它们的构造方法来看,科赫曲线和科赫雪花都是分形。
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  3. 曼德勃罗集。曼德勃罗集是在复平面上的一个点集,是最著名的分形。曼德勃罗集可以用复数域上的二次多项式f(z)=z^2+c来定义。其中c是一个复参数。
    对于每一个复平面上的数c,从z=0开始对f(z)进行迭代序列 (0, f(0), f(f(0)), f(f(f(0))), .......)如果这个序列有极限,那么我们就在复平面c点处点一黑点;如果这个序列没有极限,点一个白点。最后出来的图形就如下所示,这就是曼德勃罗集。它和它的每一个边界的小突起相似。
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  4. 谢宾斯基三角形1915~1916年,波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面,构造出谢尔宾斯基 “垫片”: 设E0是边长为1的等边三角形区域,将它均分成四个小等边三角形,去掉中间一个得E1,对E1的每个小等边三角形进行相同的操作得E2,……,这样的操作不断继续下去直 到无穷,最终所得的极限图形F称为谢尔宾斯基“垫片.
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分形又由何而来呢?1973年,曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时,首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词,是曼德勃罗创造出来的,其原意具有不规则、支离破碎的含义,分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。

由于不规则现象在自然界是普遍存在的,因此分形几何又称为描述大自然的几何学。自然界里一定程度类似分形的事物有云、山脉、闪电、海岸线和雪片等等。分形几何建立以后,很快就引起了许多学科的关注。这是由于它不仅在理论上,而且在实用上都具有重要价值。当然,最为奇美的还是在电脑上绘出的五彩缤纷的分形图案。正如分形之父曼德勃罗所言,“每个第一次见到分形的人都会为之震撼”。

分形的软件下了无数个,但最后只剩下一个自认为最好的xaos,有兴趣的可以看一下,内含一份中文的说明。

孙志伟的几个猜想

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孙志伟在洛阳的组合与图论会议上提出了几个猜想,感觉颇有意味。 挑选几个价值比较高的猜想罗列如下:

  1. 前n个素数的积是q,则比q+1大的第一个素数p与q之差是素数。
  2. 对于组合数C(2n,n),使得C(2,1),C(4,2),...,C(2n,n)模m两两不同余的最小m是素数。
  3. a不是-1,不是平方数,那么存在无数个素数p使得a是模p剩余类的生成元(关于乘法)。Artin猜想
  4. S(n)是前n个素数的交错和。 则第n+1个素数是2S(1)^2,2S(2)^2,...2S(n)^2,模m两两不同余的最小m。
  5. 任何数可以写成若干连续素数交错和的形式(悬赏500US)。

还有一些问题,没有列举出来。

教不严,师之惰

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最近上课,班上的纪律并不好。自己的做法是只要没有盖过自己的声音,就不去理会学生。作业也多有学生不写,或者是抄作业,我对此不闻不问。因为我觉得有没有布置作业是老师的事情,写不写就是学生自己的事情了。

学生给我的一个评价是“你太不厉害了”!

因为我不厉害,所以很多人不写作业,因为我不厉害,所以很多人上课说话,因为我不厉害,所以很多人不认真听讲。从前,我一直把这些责任归纠于学生,昨晚猛然发现自己是多么可笑啊!

想起一个故事。有一对夫妇老年得子,对孩子十分溺爱。当孩子七八岁的时候,从卖肉的那里拿回来一块肉,母亲没有说什么。后来,孩子就更加肆意妄为,直到越做越大,被官府辑拿归案。临刑那一天,孩子要求吮吸一下母亲的乳头,当母亲解开前襟的时候,已经成为死囚的孩子一口咬下母亲的乳头,大声哭道:“当初你们若早些管教我,我又何以有今日之死?”

第一次读到这个故事时,只是对母亲抱有同情心,今日才猛然发现,孩子的结局,母亲的养不教,要承担很大的责任。有句古话叫“惯子如杀子”,从这个故事来看,真乃金玉良言。

许多东西,对未谙世事的孩子来说,并不知道对错,作为教育者,必须要教会孩子分辨是非的能力,而非教孩子获得一时之欢愉,却遗憾终生。

学教数学与学数学

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记得上教育学时,当时的教育学老师反复给我们强调的一句话是“你们是学教数学的,而不是学数学的”。

不知自己的理解是不是有问题,这句话隐含的意思是,数学专业课学得再好也对教学几乎不产生积极的效果。虽然不情愿,但是不得不承认,某种意义下,这种观点有其正确性。

当被问及自己是学什么的,自己总是自豪地说自己是学数学的,不愿说自己还要学教数学。说到底,最重要的原因是内心还是对中学教师这个职业有点排斥。最理想的职业还是能有时间和空间,专心去研究自己所钟爱的数学,这充满神奇的数学殿堂。而中学数学教师给我的印象是,只知道一点数学的皮毛,不知数学深处蕴涵的奇美。

但是无论如何,既然来到这里,实习半年,就应尽己所能,改变数学在学生心目中形象,把学生教好,不留遗憾!

学不好的影响只有自己,教不好的后果就是害了一帮子人,深感责任重大。

黄金分割讲课小记

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今天给学生讲了黄金分割。 准备了很长时间,有了一堆材料,却发现不好整合,最后导致的结果是整体思路比较乱,不过感觉课堂气氛很好,而且学生在获取知识的同时也确实得到了乐趣,这就很让我满意了。

大致给学生讲了一下黄金分割的概念,作法,叶序与黄金分割(挖了车前草,风铃草给学生观察,学生很兴奋),黄金矩形(作了图,很好看),建筑中的黄金分割等等。

不过,仍然担心期中考试,怕考倒数第一。如今才知道考试对老师来说压力是多么大!

怎样提高学生的成绩,确实是一个问题!

科学中的反问题

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解决一个问题之后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,称之为原问题的反问题。在数学中,高科技领域,乃至日常生活中,反问题并不鲜见。

举一个简单的例子,3✖5=15是简单的整数乘法,反问题就可以是15可以分解为哪些因数的积,这就是因数分解问题,大数分解因数并不容易,用高速电子计算机分解几百位的大数可能需要几千亿年的时间。利用这个原理,人们设计了RSA公钥密码体系,极难破译。当然,整式乘法的反问题就是因式分解。很多整式,根本就没有一般的因式分解方法。在数学中,你还能找到哪些反问题的例子呢?(多项式求值与方程求根,高次方程不可解,天才数学家伽罗华和阿贝尔,素数和与哥德巴赫猜想,陈景润的1+2)。

仔细思考反问题,可以看到反问题是由果及因的问题,由部分现象推知整个事件的成因,达到对事物原有形态的复原。为了知道西瓜熟不熟,可以敲击西瓜,以音辨生熟。为了寻找石油,不可能到每个地方都打个洞,这时向地下发射无线电波,从传回的信号来获知地下的信息。CT成像技术则是通过扫描一层层的切面,随后用数据插值的方法,还原事物的内部结构。再比如,由原子弹爆炸时的录像,通过建立数学模型,以此来求得原子弹爆炸时放出的能量。这些都是通过对反问题的研究,最终解决问题的。

从上面的例子来看,一般而言,反问题更为复杂,同时也更具挑战性,趣味性。

生活中还有哪些反问题呢?能举出几个例子吗?

例谈数学教学之生活化

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第一次正式上课时,要讲幂的除法,导入环节有一个例子,大意如下: 某实验室有一种液体,每升液体中含有10^12个细菌,一种消菌液,每滴可以消灭10^9个细菌,那么要把一升液体中的细菌都消灭,需要多少滴消菌液呢?

从题目来看,似乎讲述的是实验室里的事情。可是实验室给人的感觉总是冷冰冰的。而且,从学生的角度来看,正而八经的科学实验室也许一辈子都不会看到,离现实生活很远很远, 况且那是实验室里的问题是要科学家们要解决的,和自己有什么关系呢?

考虑到这些因素,不妨把问题改变一下: 小明洗完衣服后,留下一盆脏水,里面有10^9个细菌。欲对其回收利用,使用某种消菌液,每滴可以消灭10^3个细菌,要消灭水中的全部细菌,需要多少消菌液呢? 经此改变,学生会感受到原来数学与我们的生活是密切相关的,是对我们的日常生活有帮助的,学生学习数学的兴致也就高了起来。与此相伴,在潜移默化之中向学生渗透一些东西,比如自己的事情要自己做,环保意识与可持续发展观念。

另外一个例子是讲授不等式应用时,看到书上有关于手机业务选择的例子,联系自己刚刚买手机号的经历,编制一例: 前几日,刚到这里,要办手机号。其中有两种业务,一种没有月租,但是话费比较贵,0。25元每分钟,另一种有5元的月租,话费是0。15元每分钟,我一个月打电话不多,那我该选哪一种业务呢? 下面就有很多同学喊道:"第一种!"也有一些在小声说是第二种的。 我顺势就问:"到底应该选哪一种,怎么让我相信你们呢?"很多学生就开始拿起笔来算了起来,课堂的气氛也调动起来了。从结果来看,这堂课是成功的。

当然,还有许许多多的例子,是那么不近人情,根本没有考虑到知识的接受者---学生的因素,只是一味站在成人的角度,来被动地把知识生生塞给学生,使得原本充满乐趣的数学,被冠以枯燥无味之面目。事实上,一方面,数学在现实生活中有很多实际用途,与我们的日常生活息息相关;另一方面,数学里面本身就有很多趣味盎然的例子,可是却总被埋没。作为教育者,如果我们能更多地考虑到学生的因素,能更多地站在学生的角度去思考问题,把数学问题生活化,把数学知识趣味化,也许,学生会感受到数学不是呆板的,不是那么冷冰冰的,学生学习之兴趣也随之而涨,数学教育之目的也就可以更近一步实现。

另外,我想,于数学是这样的,于别的学科,也该有类似的结果吧。毕竟,大多数学生学习知识,还是为了应用,把学习内容生活化,教会学生学以致用,或许才是教育的最终目标。

大学里读的数学类书籍

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转眼间,大学已去3/4。

大一大二大三,几乎整天都在图书馆里钻着,乱七八糟地看了一堆书,在这里整理一下吧。

高等代数类的,蓝以中的讲解很好,起点也很高;杨子胥的习题集初读有一点难度,不过习题集本身还是很棒的;钱吉林的感觉错的太多了,不堪入目;西北工业大学的考研教程感觉不错,大一做完了,基础必然没有问题。有一本高等代数探究性课题集,对高等代数的提高很有帮助。代数学,artin的,大师的经典,只是没有拜读完,现在闲了,有机会要看看。

数学分析类的,卓米奇的书起点很高,而微积分学教程好似百科全书,谢惠民的数学分析习题课讲义扩展得很广,把这本书吃透了,后三年的数学学习必然会一帆风顺。吉米多维奇习题集,经典的习题集,可惜当初没做多少。数学分析原理,RUDIN的一本经典分析著作,值得一读。哈代有一本纯粹数学教程,也不错。裴礼文的考研用书做了80%,比较系统,很不错。

其他的拓展类的:

数学天书的证明,PROOFS FROM THE BOOK,一本大学数学专业读的普及类书,有各种经典的问题,十分有趣。试图诠释数学证明的魅力。

离散几何中的研究问题,十分厚重,貌似是研究生找课题时可以参考的。

不等式,哈代的著作,不需要什么基础就可以看懂,不过翻译得确实有点不佳。

哈代的书还有纯粹数学教程,数论导引,都是很好的。毕竟,写出《一个数学家的自白》这样更具文学性的著作的数学家的文笔必然是相当好的。

组合数学教程,当时看的是中文版,翻译得确实不太好,不过原书还是挺好的,内容广泛而不失趣味性。

全国大学生数学夏令营数学竞赛试题及其解答,题目还好,可以作为准备竞赛之用。

历届PTN数学竞赛试题及其解答,有历届美国大学生数学竞赛试题,只是又厚又重,不方便。不过上面的题目很有意思,与国内竞赛试题相比,是另外一种风格。

伯克利数学问题集,伯克利大学博士生必须要过的一门考试,涵盖了大学数学基础课程。

古今数学思想,克莱因的,太厚了,简略晃过几眼,不过堪称经典。

还看过什么经典的书呢?暂时想不起来了,有时间再补充吧。

列了这么多书,其实真正从头到尾读完的没有几本。不过说到底,只要把每个课程的教材从头到尾啃上好几遍,在看书的时候多思考,多问自己几个为什么,多做题目,那么没有什么课是学不会,看不懂的。孔子有句话说得真好:“学而不思则罔,思而不学则殆”。圣人的话是要品读几年,几十年,直至一辈子才能看得出其真意的。

基本不等式的图示

众所周知,几何算术平均不等式\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}的一个几何表示可以图示如下:

几何算术平均不等式图示

那么,基本不等式\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \le \sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}的图示又该如何呢?

下面的方法是我在高中时候想出来的,现在贴在这里。你能看出图示的原理吗?不知你还有更好的办法图示吗?

基本不等式图示