问题1539: 证明是平行四边形

我们来证明四边形 \( AFCE \) 是平行四边形。

已知：

• \( ABCD \) 是平行四边形（即 \( \square ABCD \)）。
• \( BD \) 是对角线。
• \( AE \perp BD \)，\( CF \perp BD \)（即 \( AE \) 和 \( CF \) 都垂直于 \( BD \)）。
• \( E \) 和 \( F \) 是垂足。

要证： 四边形 \( AFCE \) 是平行四边形。

证明步骤：

1. 证明 \( \triangle ABE \cong \triangle CDF \)：

   • 因为 \( ABCD \) 是平行四边形，所以 \( AB \parallel CD \) 且 \( AB = CD \)。
   • \( \angle AEB = \angle CFD = 90^\circ \)（因为 \( AE \perp BD \)，\( CF \perp BD \)）。
   • \( \angle ABE = \angle CDF \)（因为 \( AB \parallel CD \)，内错角相等）。
   • 因此，\( \triangle ABE \cong \triangle CDF \)（AAS 全等）。
   • 所以 \( AE = CF \)。

2. 证明 \( AE \parallel CF \)：

   • 因为 \( AE \perp BD \) 且 \( CF \perp BD \)，所以 \( AE \parallel CF \)（同垂直于一条直线的两直线平行）。

3. 四边形 \( AFCE \) 中：

   • 有 \( AE = CF \) 且 \( AE \parallel CF \)。
   • 因此，四边形 \( AFCE \) 的一组对边平行且相等。
   • 所以，四边形 \( AFCE \) 是平行四边形（判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

结论： 四边形 \( AFCE \) 是平行四边形。

\[
\boxed{\text{四边形 } AFCE \text{ 是平行四边形}}
\]

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