问题161: Prove, by mathematical induction, that sinx/2∑coskx=sin nx/2 cos(n+1)x/2 for all positive integers n .

(1) $n=1$ 时, 显然, $\sin \frac{x}{2} \cdot \cos x=\sin \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{1+1}{2} x$

(2) 假设 $n=M$ 时命题成立，即 $\sin \frac{x}{2} \sum_{k=1}^M \cos k x=\sin \frac{M x}{2} \cos \frac{(M+1) x}{2}$ ，则 $n=M+1$ 时，

$$ \begin{aligned} 左边 & =\sin \frac{x}{2} \sum_{k=1}^{M+1} \cos k x=\sin \frac{x}{2} \cdot\left(\sum_{k=1}^M \cos k x+\cos (M+1) x\right) \\ & =\sin \frac{x}{2} \cdot \sum_{k=1}^M \cos k x+\sin \frac{x}{2} \cdot \cos (M+1) x \\ & =\sin \frac{M x}{2} \cos \frac{(M+1) x}{2}+\sin \frac{x}{2} \cos (M+1) x \\ & =\frac{1}{2}\left[\sin \frac{2 M+1}{2} x+\sin \left(-\frac{x}{2}\right)\right]+\frac{1}{2}\left[\sin \frac{2 M+3}{2} x+\sin \frac{-2 M-1}{2} x\right](\text { 积化和差) } \\ & =\frac{1}{2}\left[\sin \frac{2 M+3}{2} x-\sin \frac{x}{2}\right] \\ & =\cos \frac{M+2}{2} x \cdot \sin \frac{(M+1) x}{2} \cdot(\text { 和差化积) } \end{aligned} $$

即 $n=M+1$ 时等式亦成立.
由归纳法原理, 原命题成立。

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最后修改于2月28日