问题

问题1642:


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提问于5月25日 · 阅读 221

解答

问题重述

题目描述了一个展开图(net)为一个正方形底面的盒子。已知展开图的周长为48 cm,总表面积为135 cm²。要求计算盒子的可能的长、宽、高值。

理解展开图

首先,我们需要明确盒子的展开图是什么样子的。题目提到盒子有一个正方形的底面,因此可以假设盒子的底面是一个正方形,设边长为 \( x \) cm。盒子的高度为 \( h \) cm。

对于一个正方形底面的盒子(类似于一个长方体,但底面是正方形),其展开图通常由以下部分组成:

  1. 一个正方形底面,边长为 \( x \)。
  2. 四个相同的矩形侧面,每个的尺寸为 \( x \times h \)。

因此,展开图可能是一个“十字形”或“T形”的图形,中心是正方形底面,四周是四个矩形侧面。展开图的周长是指所有外部边缘的总长度。

计算周长

展开图的周长计算需要明确展开图的具体形状。假设展开图如下:

      +-----+
      |     |
+-----+-----+-----+
|     |     |     |
+-----+-----+-----+
      |     |
      +-----+

中心是正方形底面(边长为 \( x \)),四个方向各有一个矩形侧面(尺寸为 \( x \times h \))。那么展开图的外部边缘长度为:

  • 每个矩形侧面贡献两条长度为 \( h \) 的边和两条长度为 \( x \) 的边。
  • 由于四个矩形侧面共享边缘,实际外部边缘的总长度为:

    • 四个矩形共有 \( 8 \) 条 \( h \) 边和 \( 8 \) 条 \( x \) 边,但共享部分需要减去。
    • 更准确的计算是:整个展开图的外缘是一个大的十字形,其周长可以看作是由 \( 8 \) 条 \( h \) 边和 \( 8 \) 条 \( x \) 边组成,但内部重叠部分不算。
    • 更简单的方法是:展开图的周长是 \( 8x + 8h = 48 \),因为每个矩形贡献两条 \( x \) 和两条 \( h \) 到外缘,共四个矩形。

因此:
\[ 8x + 8h = 48 \]
\[ x + h = 6 \]
\[ h = 6 - x \]

计算表面积

盒子的总表面积包括:

  1. 底面:面积为 \( x^2 \)。
  2. 四个侧面:每个面积为 \( x \times h \),共 \( 4xh \)。
  3. 顶面:面积也为 \( x^2 \)(因为盒子有盖子)。

因此,总表面积为:
\[ 2x^2 + 4xh = 135 \]

代入 \( h = 6 - x \)

将 \( h = 6 - x \) 代入表面积方程:
\[ 2x^2 + 4x(6 - x) = 135 \]
\[ 2x^2 + 24x - 4x^2 = 135 \]
\[ -2x^2 + 24x - 135 = 0 \]
\[ 2x^2 - 24x + 135 = 0 \]

解二次方程

解方程 \( 2x^2 - 24x + 135 = 0 \):
判别式:
\[ D = (-24)^2 - 4 \times 2 \times 135 = 576 - 1080 = -504 \]

判别式为负,无实数解。这意味着我们的展开图周长计算可能有误。

重新考虑展开图的周长

可能的错误在于展开图的周长计算。另一种展开图可能是:

+-----+-----+-----+
|     |     |     |
+-----+-----+-----+
|     |     |     |
+-----+-----+-----+

即两个正方形底面和四个矩形侧面排成两行三列。此时:

  • 正方形底面边长为 \( x \),矩形侧面为 \( x \times h \)。
  • 展开图的外缘周长:

    • 上下两边:每边长度为 \( 3x \),共 \( 6x \)。
    • 左右两边:每边高度为 \( 2h \),共 \( 4h \)。
    • 总周长:\( 6x + 4h = 48 \)。

因此:
\[ 6x + 4h = 48 \]
\[ 3x + 2h = 24 \]
\[ 2h = 24 - 3x \]
\[ h = 12 - 1.5x \]

重新计算表面积

表面积:
\[ 2x^2 + 4xh = 135 \]
代入 \( h = 12 - 1.5x \):
\[ 2x^2 + 4x(12 - 1.5x) = 135 \]
\[ 2x^2 + 48x - 6x^2 = 135 \]
\[ -4x^2 + 48x - 135 = 0 \]
\[ 4x^2 - 48x + 135 = 0 \]

解方程:
\[ x = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4 \times 4 \times 135}}{2 \times 4} \]
\[ x = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 2160}}{8} \]
\[ x = \frac{48 \pm \sqrt{144}}{8} \]
\[ x = \frac{48 \pm 12}{8} \]

两个解:

  1. \( x = \frac{60}{8} = 7.5 \)

    • \( h = 12 - 1.5 \times 7.5 = 12 - 11.25 = 0.75 \)
  2. \( x = \frac{36}{8} = 4.5 \)

    • \( h = 12 - 1.5 \times 4.5 = 12 - 6.75 = 5.25 \)

验证

检查 \( x = 7.5 \), \( h = 0.75 \):

  • 周长:\( 6 \times 7.5 + 4 \times 0.75 = 45 + 3 = 48 \) ✔
  • 表面积:\( 2 \times 7.5^2 + 4 \times 7.5 \times 0.75 = 2 \times 56.25 + 22.5 = 112.5 + 22.5 = 135 \) ✔

检查 \( x = 4.5 \), \( h = 5.25 \):

  • 周长:\( 6 \times 4.5 + 4 \times 5.25 = 27 + 21 = 48 \) ✔
  • 表面积:\( 2 \times 4.5^2 + 4 \times 4.5 \times 5.25 = 2 \times 20.25 + 94.5 = 40.5 + 94.5 = 135 \) ✔

可能的尺寸

盒子的底面是正方形,边长为 \( x \),高度为 \( h \)。因此:

  1. 第一种可能:

    • 长度(底面边长):7.5 cm
    • 宽度(底面边长):7.5 cm
    • 高度:0.75 cm
  2. 第二种可能:

    • 长度(底面边长):4.5 cm
    • 宽度(底面边长):4.5 cm
    • 高度:5.25 cm

最终答案

盒子的可能尺寸为:

  1. 长度 = 7.5 cm,宽度 = 7.5 cm,高度 = 0.75 cm;
  2. 长度 = 4.5 cm,宽度 = 4.5 cm,高度 = 5.25 cm。

英文回答

The possible dimensions of the box are:

  1. Length = 7.5 cm, width = 7.5 cm, height = 0.75 cm;
  2. Length = 4.5 cm, width = 4.5 cm, height = 5.25 cm.

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最后修改于5月30日

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