问题1642:

问题重述

题目描述了一个展开图（net）为一个正方形底面的盒子。已知展开图的周长为48 cm，总表面积为135 cm²。要求计算盒子的可能的长、宽、高值。

理解展开图

首先，我们需要明确盒子的展开图是什么样子的。题目提到盒子有一个正方形的底面，因此可以假设盒子的底面是一个正方形，设边长为 ( x ) cm。盒子的高度为 ( h ) cm。

对于一个正方形底面的盒子（类似于一个长方体，但底面是正方形），其展开图通常由以下部分组成：

1. 一个正方形底面，边长为 ( x )。
2. 四个相同的矩形侧面，每个的尺寸为 ( x \times h )。

因此，展开图可能是一个“十字形”或“T形”的图形，中心是正方形底面，四周是四个矩形侧面。展开图的周长是指所有外部边缘的总长度。

计算周长

展开图的周长计算需要明确展开图的具体形状。假设展开图如下：

      +-----+
      |     |
+-----+-----+-----+
|     |     |     |
+-----+-----+-----+
      |     |
      +-----+

中心是正方形底面（边长为 ( x )），四个方向各有一个矩形侧面（尺寸为 ( x \times h )）。那么展开图的外部边缘长度为：

• 每个矩形侧面贡献两条长度为 ( h ) 的边和两条长度为 ( x ) 的边。

• 由于四个矩形侧面共享边缘，实际外部边缘的总长度为：

  • 四个矩形共有 ( 8 ) 条 ( h ) 边和 ( 8 ) 条 ( x ) 边，但共享部分需要减去。
  • 更准确的计算是：整个展开图的外缘是一个大的十字形，其周长可以看作是由 ( 8 ) 条 ( h ) 边和 ( 8 ) 条 ( x ) 边组成，但内部重叠部分不算。
  • 更简单的方法是：展开图的周长是 ( 8x + 8h = 48 )，因为每个矩形贡献两条 ( x ) 和两条 ( h ) 到外缘，共四个矩形。

因此：
[ 8x + 8h = 48 ]
[ x + h = 6 ]
[ h = 6 - x ]

计算表面积

盒子的总表面积包括：

1. 底面：面积为 ( x^2 )。
2. 四个侧面：每个面积为 ( x \times h )，共 ( 4xh )。
3. 顶面：面积也为 ( x^2 )（因为盒子有盖子）。

因此，总表面积为：
[ 2x^2 + 4xh = 135 ]

代入 ( h = 6 - x )

将 ( h = 6 - x ) 代入表面积方程：
[ 2x^2 + 4x(6 - x) = 135 ]
[ 2x^2 + 24x - 4x^2 = 135 ]
[ -2x^2 + 24x - 135 = 0 ]
[ 2x^2 - 24x + 135 = 0 ]

解二次方程

解方程 ( 2x^2 - 24x + 135 = 0 )：
判别式：
[ D = (-24)^2 - 4 \times 2 \times 135 = 576 - 1080 = -504 ]

判别式为负，无实数解。这意味着我们的展开图周长计算可能有误。

重新考虑展开图的周长

可能的错误在于展开图的周长计算。另一种展开图可能是：

+-----+-----+-----+
|     |     |     |
+-----+-----+-----+
|     |     |     |
+-----+-----+-----+

即两个正方形底面和四个矩形侧面排成两行三列。此时：

• 正方形底面边长为 ( x )，矩形侧面为 ( x \times h )。

• 展开图的外缘周长：

  • 上下两边：每边长度为 ( 3x )，共 ( 6x )。
  • 左右两边：每边高度为 ( 2h )，共 ( 4h )。
  • 总周长：( 6x + 4h = 48 )。

因此：
[ 6x + 4h = 48 ]
[ 3x + 2h = 24 ]
[ 2h = 24 - 3x ]
[ h = 12 - 1.5x ]

重新计算表面积

表面积：
[ 2x^2 + 4xh = 135 ]
代入 ( h = 12 - 1.5x )：
[ 2x^2 + 4x(12 - 1.5x) = 135 ]
[ 2x^2 + 48x - 6x^2 = 135 ]
[ -4x^2 + 48x - 135 = 0 ]
[ 4x^2 - 48x + 135 = 0 ]

解方程：
[ x = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4 \times 4 \times 135}}{2 \times 4} ]
[ x = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 2160}}{8} ]
[ x = \frac{48 \pm \sqrt{144}}{8} ]
[ x = \frac{48 \pm 12}{8} ]

两个解：

1. ( x = \frac{60}{8} = 7.5 )

   • ( h = 12 - 1.5 \times 7.5 = 12 - 11.25 = 0.75 )

2. ( x = \frac{36}{8} = 4.5 )

   • ( h = 12 - 1.5 \times 4.5 = 12 - 6.75 = 5.25 )

验证

检查 ( x = 7.5 ), ( h = 0.75 )：

• 周长：( 6 \times 7.5 + 4 \times 0.75 = 45 + 3 = 48 ) ✔
• 表面积：( 2 \times 7.5^2 + 4 \times 7.5 \times 0.75 = 2 \times 56.25 + 22.5 = 112.5 + 22.5 = 135 ) ✔

检查 ( x = 4.5 ), ( h = 5.25 )：

• 周长：( 6 \times 4.5 + 4 \times 5.25 = 27 + 21 = 48 ) ✔
• 表面积：( 2 \times 4.5^2 + 4 \times 4.5 \times 5.25 = 2 \times 20.25 + 94.5 = 40.5 + 94.5 = 135 ) ✔

可能的尺寸

盒子的底面是正方形，边长为 ( x )，高度为 ( h )。因此：

1. 第一种可能：

   • 长度（底面边长）：7.5 cm
   • 宽度（底面边长）：7.5 cm
   • 高度：0.75 cm

2. 第二种可能：

   • 长度（底面边长）：4.5 cm
   • 宽度（底面边长）：4.5 cm
   • 高度：5.25 cm

最终答案

盒子的可能尺寸为：

1. 长度 = 7.5 cm，宽度 = 7.5 cm，高度 = 0.75 cm；
2. 长度 = 4.5 cm，宽度 = 4.5 cm，高度 = 5.25 cm。

英文回答

The possible dimensions of the box are:

1. Length = 7.5 cm, width = 7.5 cm, height = 0.75 cm;
2. Length = 4.5 cm, width = 4.5 cm, height = 5.25 cm.

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