问题1642:
已解决
提问于5月25日 · 阅读 221
题目描述了一个展开图(net)为一个正方形底面的盒子。已知展开图的周长为48 cm,总表面积为135 cm²。要求计算盒子的可能的长、宽、高值。
首先,我们需要明确盒子的展开图是什么样子的。题目提到盒子有一个正方形的底面,因此可以假设盒子的底面是一个正方形,设边长为 \( x \) cm。盒子的高度为 \( h \) cm。
对于一个正方形底面的盒子(类似于一个长方体,但底面是正方形),其展开图通常由以下部分组成:
因此,展开图可能是一个“十字形”或“T形”的图形,中心是正方形底面,四周是四个矩形侧面。展开图的周长是指所有外部边缘的总长度。
展开图的周长计算需要明确展开图的具体形状。假设展开图如下:
+-----+
| |
+-----+-----+-----+
| | | |
+-----+-----+-----+
| |
+-----+
中心是正方形底面(边长为 \( x \)),四个方向各有一个矩形侧面(尺寸为 \( x \times h \))。那么展开图的外部边缘长度为:
由于四个矩形侧面共享边缘,实际外部边缘的总长度为:
因此:
\[ 8x + 8h = 48 \]
\[ x + h = 6 \]
\[ h = 6 - x \]
盒子的总表面积包括:
因此,总表面积为:
\[ 2x^2 + 4xh = 135 \]
将 \( h = 6 - x \) 代入表面积方程:
\[ 2x^2 + 4x(6 - x) = 135 \]
\[ 2x^2 + 24x - 4x^2 = 135 \]
\[ -2x^2 + 24x - 135 = 0 \]
\[ 2x^2 - 24x + 135 = 0 \]
解方程 \( 2x^2 - 24x + 135 = 0 \):
判别式:
\[ D = (-24)^2 - 4 \times 2 \times 135 = 576 - 1080 = -504 \]
判别式为负,无实数解。这意味着我们的展开图周长计算可能有误。
可能的错误在于展开图的周长计算。另一种展开图可能是:
+-----+-----+-----+
| | | |
+-----+-----+-----+
| | | |
+-----+-----+-----+
即两个正方形底面和四个矩形侧面排成两行三列。此时:
展开图的外缘周长:
因此:
\[ 6x + 4h = 48 \]
\[ 3x + 2h = 24 \]
\[ 2h = 24 - 3x \]
\[ h = 12 - 1.5x \]
表面积:
\[ 2x^2 + 4xh = 135 \]
代入 \( h = 12 - 1.5x \):
\[ 2x^2 + 4x(12 - 1.5x) = 135 \]
\[ 2x^2 + 48x - 6x^2 = 135 \]
\[ -4x^2 + 48x - 135 = 0 \]
\[ 4x^2 - 48x + 135 = 0 \]
解方程:
\[ x = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4 \times 4 \times 135}}{2 \times 4} \]
\[ x = \frac{48 \pm \sqrt{2304 - 2160}}{8} \]
\[ x = \frac{48 \pm \sqrt{144}}{8} \]
\[ x = \frac{48 \pm 12}{8} \]
两个解:
\( x = \frac{60}{8} = 7.5 \)
\( x = \frac{36}{8} = 4.5 \)
检查 \( x = 7.5 \), \( h = 0.75 \):
检查 \( x = 4.5 \), \( h = 5.25 \):
盒子的底面是正方形,边长为 \( x \),高度为 \( h \)。因此:
第一种可能:
第二种可能:
盒子的可能尺寸为:
The possible dimensions of the box are:
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最后修改于5月30日
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