问题1687: 等腰梯形对角线垂直

注意: 题目可能有误, 应附加条件等腰梯形

在等腰梯形 \(ABCD\) 中，\(AB \parallel CD\)，且 \(AB = a\)，\(CD = b\)（\(a\) 和 \(b\) 为底边），腰 \(AD = BC\)。对角线 \(AC \perp BD\)。
需要判断两个说法：
① \(AC = \frac{\sqrt{2}}{2} (a + b)\)
② \(AD = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^2 + b^2}\)

步骤1：利用等腰梯形对角线垂直的性质
在等腰梯形中，若对角线垂直，则存在性质：

• 对角线长度 \(AC = BD = \frac{\sqrt{2}}{2} (a + b)\)
• 腰长 \(AD = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^2 + b^2}\)

推导验证：
设等腰梯形 \(ABCD\)，\(AB \parallel CD\)，\(AB = a\)，\(CD = b\)（\(a < b\)），高为 \(h\)。
对角线垂直时，有 \(h = \frac{a + b}{2}\)（可通过坐标法或几何关系证明）。

对角线长度 \(AC\)：
在直角三角形中，\(AC = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}\)？实际上更精确的：
通过对角线垂直和等腰梯形的对称性，可推导出：
\(AC = \frac{\sqrt{2}}{2} (a + b)\)

腰长 \(AD\)：
腰 \(AD = \sqrt{h^2 + \left(\frac{b - a}{2}\right)^2}\)
代入 \(h = \frac{a + b}{2}\)：
\(AD = \sqrt{\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{(a+b)^2 + (b-a)^2}{4}} = \sqrt{\frac{2(a^2 + b^2)}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^2 + b^2}\)

因此，在等腰梯形且对角线垂直的条件下：
① \(AC = \frac{\sqrt{2}}{2} (a + b)\) 正确
② \(AD = \frac{\sqrt{2}}{2} \sqrt{a^2 + b^2}\) 正确

步骤2：结论
两个说法均正确。

答案：
\[
\boxed{\text{C}}
\]
即①②均正确。

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