问题1732: 求函数z=4-xy在圆域D:x2+y2≤1上的最大值和最小

要求函数 \( z = 4 - xy \) 在圆域 \( D: x^2 + y^2 \leq 1 \) 上的最大值和最小值，可以按照以下步骤进行分析：

1. 分析函数的极值

首先，考虑函数 \( z = 4 - xy \) 在圆域内部的极值点。计算偏导数：

\[
\frac{\partial z}{\partial x} = -y, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -x
\]

令偏导数为零，得到临界点：

\[
-y = 0 \quad \text{且} \quad -x = 0 \implies x = 0, \quad y = 0
\]

因此，唯一的临界点是 \( (0, 0) \)，此时 \( z = 4 \)。

2. 分析边界上的极值

圆域的边界为 \( x^2 + y^2 = 1 \)。可以使用参数法或拉格朗日乘数法来求解边界上的极值。这里采用参数法：

设 \( x = \cos \theta \)，\( y = \sin \theta \)，其中 \( \theta \in [0, 2\pi) \)。则函数在边界上变为：

\[
z = 4 - xy = 4 - \cos \theta \sin \theta = 4 - \frac{1}{2} \sin 2\theta
\]

因为 \( \sin 2\theta \) 的取值范围是 \([-1, 1]\)，所以：

• 最大值：当 \( \sin 2\theta = -1 \) 时，\( z = 4 - \frac{1}{2}(-1) = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \)。
• 最小值：当 \( \sin 2\theta = 1 \) 时，\( z = 4 - \frac{1}{2}(1) = 4 - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \)。

3. 综合比较

• 内部临界点 \( (0, 0) \) 的函数值为 \( z = 4 \)。
• 边界上的最大值为 \( \frac{9}{2} \)，最小值为 \( \frac{7}{2} \)。

因此，函数 \( z = 4 - xy \) 在圆域 \( D \) 上的：

• 最大值为 \( \frac{9}{2} \)，在 \( \theta = \frac{3\pi}{4} \) 和 \( \theta = \frac{7\pi}{4} \) 时取得（即 \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)，\( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \) 或 \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，\( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)）。
• 最小值为 \( \frac{7}{2} \)，在 \( \theta = \frac{\pi}{4} \) 和 \( \theta = \frac{5\pi}{4} \) 时取得（即 \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \)，\( y = \frac{\sqrt{2}}{2} \) 或 \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)，\( y = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)）。

最终答案

函数 \( z = 4 - xy \) 在圆域 \( D: x^2 + y^2 \leq 1 \) 上的：

• 最大值为 \(\boxed{\dfrac{9}{2}}\)；
• 最小值为 \(\boxed{\dfrac{7}{2}}\)。

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