问题1738: x_n＞0,e^(lnx_n+x_n+1)=e^x_n-1，(1)证明x_n收敛(2)求

（1）证明 \(x_n\) 收敛

1. 递推关系简化：
   \[
   e^{\ln x_n + x_{n+1}} = e^{x_n} - 1 \implies x_n e^{x_{n+1}} = e^{x_n} - 1
   \]
   \[
   \implies x_{n+1} = \ln\left( \frac{e^{x_n} - 1}{x_n} \right)
   \]

2. 单调递减性：

   • 定义函数 \(g(x) = \ln\left( \frac{e^x - 1}{x} \right)\)。
   • 当 \(x > 0\) 时，\(g(x) < x\)（因为 \(\frac{e^x - 1}{x e^x} < 1\)）。
   • 因此 \(x_{n+1} = g(x_n) < x_n\)，数列单调递减。

3. 有下界：

   • 显然 \(x_n > 0\)，且单调递减，故收敛。

（2）求极限 \(\lim_{n \to \infty} x_n\)

设极限为 \(L\)，则：
\[
L = \ln\left( \frac{e^L - 1}{L} \right) \implies e^L = \frac{e^L - 1}{L}
\]
\[
\implies L e^L = e^L - 1 \implies e^L (L - 1) + 1 = 0
\]

• 唯一解为 \(L = 0\)（验证 \(L = 0\) 满足方程）。

最终答案

（1）数列 \({x_n}\) 收敛。
（2）\(\lim_{n \to \infty} x_n = 0\)。

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