问题1757: 方差计算

1. 计算平均值：
   $$\bar{x} = \frac{10 + 8 + 9 + x + 7 + 13 + 16 + 11}{8} = \frac{74 + x}{8}$$
2. 利用方差公式：
   $$\text{方差} = \frac{\sum x_i^2}{8} - \bar{x}^2 = 9.5$$
3. 计算平方和：
   $$\sum x_i^2 = 10^2 + 8^2 + 9^2 + x^2 + 7^2 + 13^2 + 16^2 + 11^2 = 840 + x^2$$
4. 代入方差公式：
   $$\frac{840 + x^2}{8} - \left(\frac{74 + x}{8}\right)^2 = 9.5$$

5. 化简方程：

   • 乘以64消去分母：
     $$8(840 + x^2) - (74 + x)^2 = 608$$
   • 展开并整理：
     $$6720 + 8x^2 - 5476 - 148x - x^2 = 608$$
     $$7x^2 - 148x + 636 = 0$$

6. 解二次方程：
   $$x = \frac{148 \pm \sqrt{148^2 - 4 \times 7 \times 636}}{14} = \frac{148 \pm 64}{14}$$

   • 解得：
     $$x = 6 \quad \text{或} \quad x = \frac{106}{7}$$

7. 验证合理性：

   • 由于订购数量通常为整数，取$x = 6$。

最终答案：

$$x = \boxed{6}$$

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