问题1770: 1-10的答案

解答：

第一题：求 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x - 3x}{3x^3}\)

步骤：

1. 使用泰勒展开 \(\sin 3x\) 在 \(x = 0\) 附近：
   \[
   \sin 3x \approx 3x - \frac{(3x)^3}{6} + \frac{(3x)^5}{120} - \cdots
   \]
2. 代入极限表达式：
   \[
   \sin 3x - 3x \approx -\frac{27x^3}{6} + \frac{243x^5}{120} - \cdots
   \]
3. 忽略高阶小项：
   \[
   \sin 3x - 3x \approx -\frac{9x^3}{2}
   \]
4. 代入极限：
   \[
   \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{9x^3}{2}}{3x^3} = -\frac{9}{6} = -\frac{3}{2}
   \]

答案：
\(\boxed{B}\)

第二题：若 \(x^2 + y^2 = 25\)，求在点 \((3, 4)\) 处的 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 的值。

步骤：

1. 对 \(x^2 + y^2 = 25\) 隐函数求一阶导数：
   \[
   2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
   \]
2. 在点 \((3, 4)\) 处：
   \[
   \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}
   \]
3. 对一阶导数再求导：
   \[
   \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{y - x \frac{dy}{dx}}{y^2}
   \]
4. 代入 \(\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}\) 和 \((3, 4)\)：
   \[
   \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{4 - 3 \left(-\frac{3}{4}\right)}{16} = -\frac{4 + \frac{9}{4}}{16} = -\frac{\frac{25}{4}}{16} = -\frac{25}{64}
   \]

答案：
\(\boxed{A}\)

第三题：已知 \(f(x) = x^2 + 2x + 3\)，求 \(\lim_{x \to -1} \frac{f(x) - f(-1)}{x+1}\)。

步骤：

1. 计算 \(f(-1)\)：
   \[
   f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2
   \]
2. 极限表达式为导数定义：
   \[
   \lim_{x \to -1} \frac{f(x) - f(-1)}{x+1} = f'(-1)
   \]
3. 求 \(f'(x)\)：
   \[
   f'(x) = 2x + 2
   \]
4. 代入 \(x = -1\)：
   \[
   f'(-1) = 2(-1) + 2 = 0
   \]

答案：
\(\boxed{A}\)

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