问题327: 一个九宫格开关，分别控制了一组九宫格的灯

这是一个经典的“九宫格灯谜”问题（类似“Lights Out”游戏）。
九宫格有9个开关（每个对应一个灯），按下一个开关会翻转自身及上下左右相邻灯的状态（如果存在）。
目标：从所有灯关闭的状态开始，通过按开关，使得只有第一格（左上角）的灯亮，其他全灭。

问题分析：

• 每个开关按0次或1次（按两次等于没按）。
• 设每个开关的操作状态为 \(x_{ij} \in {0,1}\)（1表示按，0表示不按）。
• 灯的状态变化是线性的（模2加法），因此可以建立线性方程组（模2意义下）。

定义：

• 初始状态：所有灯关闭（0）。
• 目标状态：只有左上角（位置1）为1，其他为0。

设灯的位置编号为：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

按一个开关会影响自身和相邻（上下左右）的灯。
例如：

• 按开关1（左上）会影响灯1、2、4。
• 按开关2（上中）会影响灯1、2、3、5。
• ...（类似）

设 \(x_i\) 表示开关 \(i\) 是否被按（1或0）。
每个灯最终状态 = 所有影响它的开关操作之和（模2）。
目标：灯1=1，灯2=0，灯3=0，灯4=0，灯5=0，灯6=0，灯7=0，灯8=0，灯9=0。

列出每个灯的方程（模2）：

• 灯1：\(x_1 + x_2 + x_4 = 1\)
• 灯2：\(x_1 + x_2 + x_3 + x_5 = 0\)
• 灯3：\(x_2 + x_3 + x_6 = 0\)
• 灯4：\(x_1 + x_4 + x_5 + x_7 = 0\)
• 灯5：\(x_2 + x_4 + x_5 + x_6 + x_8 = 0\)
• 灯6：\(x_3 + x_5 + x_6 + x_9 = 0\)
• 灯7：\(x_4 + x_7 + x_8 = 0\)
• 灯8：\(x_5 + x_7 + x_8 + x_9 = 0\)
• 灯9：\(x_6 + x_8 + x_9 = 0\)

这是一个9变量、9方程的线性方程组（模2）。
求解即可得到每个开关是否需要按。

求解（使用高斯消元法模2）：

写为增广矩阵（右侧是目标状态）：

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & | & 0 \\ \end{bmatrix} $$

经过高斯消元（模2），得到解：
\[
x_1 = 1, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = 1, \quad x_4 = 0, \quad x_5 = 0, \quad x_6 = 1, \quad x_7 = 1, \quad x_8 = 1, \quad x_9 = 0
\]

即需要按的开关为：1, 3, 6, 7, 8（共5次）。

验证：

按开关1,3,6,7,8：

• 按1：影响1,2,4 → (1,1,0,1,0,0,0,0,0)
• 按3：影响2,3,6 → (1,1+1=0,1,1,0,1,0,0,0) = (1,0,1,1,0,1,0,0,0)
• 按6：影响3,5,6,9 → (1,0,1+1=0,1,0+1=1,1+1=0,0,0,1) = (1,0,0,1,1,0,0,0,1)
• 按7：影响4,7,8 → (1,0,0,1+1=0,1,0,1,1,1) = (1,0,0,0,1,0,1,1,1)
• 按8：影响5,7,8,9 → (1,0,0,0,1+1=0,0,1+1=0,1+1=0,1+1=0) = (1,0,0,0,0,0,0,0,0)

成功：只有灯1亮，其他全灭。

结论：

至少需要按 5次（开关1、3、6、7、8）。

\[
\boxed{5}
\]

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