若 f(x) 在 x=1 处可导, 且 f^'(1)=1 ，求lim _x → 0f(1+x)+f(1+2 sin x)-2 f(1-3 tan x)/x

$\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1+x)+f(1+2 \sin x)-2 f(1-3 \tan x)}{x} \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1+x)-f(1-3 \tan x)}{1-x-1-3 x}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1+2 \sin x)-f(1-3 \tan x)}{x} \\ & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1+x)-f(1-3 \tan x)}{x+3 \tan x} \frac{x+3 \tan x}{x}+(1) \\ & \quad+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1+2 \sin x)-f(1-3 \tan x}{2 \sin x+3 \tan x} \\ & =4 f^{\prime}(1)+5 f^{\prime}(1)=9 f^{\prime}(1)=9 .\end{aligned}$

添加微信可以直接提问（请注明数学答疑）

最后修改于2023年05月20日