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问题400: y=2x^2+18/x^2+3x 求 y 的取值范围。


2024-06-13T14:38:43.png
$y=\frac{2 x^2+18}{x^2+3 x}$ 求 $y$ 的取值范围。

已解决 · 高中数学
提问于5月21日 · 阅读 164

解答

设y可以取值k, 则以下方程有解
$2 x^2+18=k\left(x^2+3 x\right)$

化简得$(2-k) x^2-3 k x+18=0$

当y取值k=2时, x=3;
当y取值k≠2时, $\Delta = 9 k^2-4 \cdot 18 \cdot(2-k) \geqslant 0$,
即$k^2 + 8 k-16\geqslant 0$,
解得$k≥-4 + 4 \sqrt{2}$或者$k≤-4 - 4 \sqrt{2}$

综上, y的取值范围是$(-∞, -4 - 4 \sqrt{2}]∪[-4 + 4 \sqrt{2},∞)$


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