证明 f(x,y)=xy/(x^2+y^2)分别对 x,y 连续, 但对 (x,y) 不连续.

1. 首先证明函数对$y$连续.
   若$x=0$, 则$f(0,y)=0$, 显然是连续的.
   若$x≠0$, 则

$$ \lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow y_0} \frac{x y}{x^2+y^2}=\frac{x y_0}{x^2+y_0^2}=f\left(x, y_0\right) $$

从而函数是连续的.

2. 同理可得函数对$x$也是连续的.

3. 当$(x,y)→(0, 0)$时, 若$(x,y)$沿$y=x$趋于$(0, 0)$, 则

   $$ \lim _{\substack{(x, y) \rightarrow(0,0) \\ y=x}} f(x, y)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x, x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{x^2+x^2}=\frac{1}{2} \neq f(0,0) $$, 从而函数在点$(0,0)$不连续

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最后修改于1月15日