问题754: 积化和差与和差化积

推导过程详解

1. 推导积化和差公式 \(\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]\)

步骤：

• 从两角和差公式出发：
  \[
  \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \quad (1)
  \]
  \[
  \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \quad (2)
  \]
• 将 (1) 和 (2) 相加：
  \[
  \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta
  \]
• 整理得到积化和差公式：
  \[
  \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]
  \]

结论：
\[
\boxed{\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]}
\]

2. 推导和差化积公式 \(\sin\theta + \sin\varphi = 2\sin\frac{\theta+\varphi}{2}\cos\frac{\theta-\varphi}{2}\)

步骤：

• 设 \(\alpha = \frac{\theta + \varphi}{2}\)，\(\beta = \frac{\theta - \varphi}{2}\)，则：
  \[
  \theta = \alpha + \beta, \quad \varphi = \alpha - \beta
  \]
• 将 \(\theta\) 和 \(\varphi\) 代入积化和差公式：
  \[
  \sin\theta + \sin\varphi = \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)
  \]
• 根据积化和差的结果：
  \[
  \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin\alpha\cos\beta
  \]
• 代回 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的表达式：
  \[
  \sin\theta + \sin\varphi = 2\sin\left(\frac{\theta + \varphi}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta - \varphi}{2}\right)
  \]

结论：
\[
\boxed{\sin\theta + \sin\varphi = 2\sin\frac{\theta+\varphi}{2}\cos\frac{\theta-\varphi}{2}}
\]

总结

1. 积化和差公式通过两角和差公式相加或相减推导而来，用于将乘积形式转换为和差形式。
2. 和差化积公式通过变量替换和积化和差公式的逆用得到，用于将和差形式转换为乘积形式。
3. 这些公式在三角函数的化简、积分和方程求解中具有重要作用。

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