问题114: 证明5|n(n-1)(n+1)(n^2+1)

若$5 | n$, 显然成立.
若$5 \nmid n$, 则由费马定理， $n^{5-1} \equiv 1 \bmod 5$
即 $n^5 \equiv n \bmod 5$
$n^5-n \equiv 0 \bmod 5$

从而 $5 | n^5-n$ 。
而 $n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)=n(n-1)(n+1)\left(n^2+1\right)$
故 $5 \mid n(n-1)(n+1)\left(n^2+1\right)$

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最后修改于1月22日