问题115: 假设α∈R . 对于级数 {an}⊆R , an=(n^3+log(n^n)/n^|α|4√n^4+3)^1/3

假设$\alpha \in R$. 对于级数 $\left\{a_n\right\} \subseteq R$,

$$ a_n=\left(\frac{n^3+\log \left(n^n\right)}{n^{|\alpha|} \sqrt[4]{n^4+3}}\right)^{\frac{1}{3}} $$

那么

$$ \sum_{n=1}^{+\infty} a_n \text { 收敛 } \Longleftrightarrow \_\_\_\_ $$

解答

设 $b_n=\left(\frac{n^3}{n^{|\alpha|} \cdot \sqrt[4]{n^4}}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{n^{\frac{|\alpha \mid-2}{3}}}$ ，则 $\Sigma b_n$ 收敛当且仅当 $\frac{|\alpha|-2}{3}>1$ ，
即 $|\alpha|>5$ 。

$$ \begin{aligned} & \text { 又 } \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^3+\log n^n}{n^{|\alpha|} \cdot \sqrt[4]{n^4+3}} \cdot n^{|\alpha \mid-2}\right)^{\frac{1}{3}}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^3+n \log n}{n^2 \cdot \sqrt[4]{n^4+3}}\right)^{\frac{1}{3}} \\ & =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+\frac{\log n}{n^2}}{\sqrt[4]{1+\frac{3}{n^4}}}\right)^{\frac{1}{3}}=1 \\ & \end{aligned} $$

故$\Sigma a_n$与$\Sigma b_n$敛散性相同, 即$\alpha>5$ 成 $\alpha<-5$时， $\sum a_n$ 收敛。

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