问题1746: 极限计算

高等数学 · 已解决
提问于7月28日 · 阅读 504

解答

我们要求解的是：

设 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{x} = 2$，则 $m = (\quad)$

选项：
A. $0$
B. $\frac{1}{2}$
C. $1$
D. $2$

利用重要极限：
已知重要极限：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$
推广到一般情况：
对于任意常数 $k$，有：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{x} = k \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin kx}{kx} = k \cdot 1 = k $$
应用到题目中：
题目中的极限可以表示为：
$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin mx}{x} = m $$
根据题目条件：
$$ m = 2 $$
验证选项：
选项中 $m = 2$ 对应选项 D。