问题1745: 循环小数问题

题目5解答

问题：一个不可约简的普通分数，如果其分母的质因数分解只包含：
A) 仅因数2
B) 仅因数5
答案：✓ B
解析：

• 当分母只含因数2时，分数可化为有限小数（如1/2=0.5），但仍可能是可约简的（如2/4可约简为1/2）。
• 当分母只含因数5时，分数必为不可约简的最简分数（如3/5），因为分子分母无公因数。

题目6解答

问题：不执行除法，判断哪个分数是纯循环小数。
选项：
A) \(\frac{3}{8}\)
B) \(\frac{7}{3}\)
答案：✓ B
解析：

• \(\frac{3}{8}\) 的分母8=2³，不含其他质因数，对应有限小数（0.375）。
• \(\frac{7}{3}\) 的分母3是质数且不被分子整除，对应纯循环小数（\(2.\overline{3}\)）。

题目7解答

问题：计算 \(2.\overline{6} - 5.\overline{3} - 4.\overline{4}\) 并化简为最简分数。
步骤：

1. 转换循环小数为分数：

   • \(2.\overline{6} = 2 + \frac{6}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}\)
   • \(5.\overline{3} = 5 + \frac{3}{9} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}\)
   • \(4.\overline{4} = 4 + \frac{4}{9} = \frac{40}{9}\)
2. 计算表达式：
   \[
   \frac{8}{3} - \frac{16}{3} - \frac{40}{9} = \left(\frac{-8}{3}\right) - \frac{40}{9} = \frac{-24}{9} - \frac{40}{9} = \frac{-64}{9}
   \]

最终答案：\(\boxed{-\dfrac{64}{9}}\)

验证：

• 直接计算小数：
  \(2.\overline{6} ≈ 2.6667\), \(5.\overline{3} ≈ 5.3333\), \(4.\overline{4} ≈ 4.4444\)
  \(2.6667 - 5.3333 - 4.4444 ≈ -7.111 ≈ -\frac{64}{9}\)（一致）

总结

• 题目5：分母仅含因数5时确保分数不可约简。
• 题目6：分母含非2/5的质因数时必为循环小数。
• 题目7：循环小数转换后通分计算即可。

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