问题209: 用 2n个相同的元件(例如整流二极管)组成一个

(1) $P_1=1-\left(1-r^n\right)^2=1-\left(1-2 r^n+r^{2 n}\right)=2 r^n-r^{2 n}=r^n\left(2-r^n\right)$
$P_2=\left(2 r-r^2\right)^n=r^n \cdot(2-r)^n$

(2)
设 $f(r)=(2-r)^n-\left(2-r^n\right) . \quad 0 \leqslant r \leqslant 1$
求导 $f^{\prime}(r)=n(2-r)^{n-1} \cdot(-1)+n r^{n-1}=n \cdot\left[r^{n-1}-(2-r)^{n-1}\right] \leq 0$
从而 $f(r)$ 在 $[0,1]$ 上单调通减; 故最小值为 $f(1)=1^n-\left(2-1^n\right)=0$
即 $f(r) \geqslant 0(0 \leq r \leq 1)$, 故 $P_2 \geqslant P_1$

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最后修改于3月18日