问题210: 设 0<P(A)<1,0<P(B)<1,P(A∣B)+P(A¯∣B¯)=1 , 则 ( )

设 $0<P(A)<1,0<P(B)<1, P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid \bar{B})=1$, 则 ( ).
(1)事件 $A$ 和 $B$ 互不相容
(2)事件 $A$ 和 $B$ 互相对立
(3)事件 $A$ 和 $B$ 互不独立
(4)事件 $A$ 和 $B$ 相互独立

已解决 · 概率统计
提问于3月18日 · 阅读 57

解答

$$ \begin{aligned} & P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid \bar{B})=1 \\ & \frac{P(A B)}{P(B)}+1-P(A \mid \bar{B})=1 \\ & \frac{P(A B)}{P(B)}=\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})} \\ & \frac{P(A B)}{P(B)}=\frac{P(A)-P(A B)}{1-P(B)} \\ & P(A B) \cdot(1-P(B))=P(B) \cdot(P(A)-P(A B)) \\ & P(A B)=P(A) \cdot P(B) \end{aligned} $$

从而事件A和B相互独立.

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