三次方程求根公式是什么?

一般的三次方程, $a x^3+b x^2+c x+d=0$
可以化简为 $y^3+p y+q=0$,
其中$y=x+\frac{b}{3 a}$, $p=\frac{3 a c-b^2}{3 a^2}$, $q=\frac{2 b^3-9 a b c+27 a^2 d}{27 a^3}$.

则
$y_i=\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^{i-1} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\left(\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\right)^{i-1} \sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

$\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$是判别式
$\Delta<0$时, 有三个不等的实根
$\Delta=0$时, 有两个不等的实根
$\Delta>0$时, 有一个实根和两个虚根.

令$\alpha=-\frac{q}{2}=\frac{9 a b c-2 b^3-27 a^2 d}{54 a^3}$,
$\beta=\frac{p}{3}=\frac{3 a c-b^2}{9 a^2}, \quad \omega=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}$
则 $y_i=\omega^{i-1} \sqrt[3]{\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}+ \omega^{i-1} \sqrt[3]{\alpha-\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$
再令$x_0=-\frac{b}{3 a}$ 则
$x_1=x_0+\omega^{i-1} \sqrt[3]{\alpha+\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}+\omega^{i-1} \sqrt[3]{\alpha-\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}$

$\Delta=\alpha^2+\beta^3<0$ 时, 令$$\begin{aligned} W & =\alpha+i \sqrt{-\left(\alpha^2+\beta^2\right)} \\ & =(-\beta)^{\frac{3}{2}} \cdot e^{i \arccos \frac{\alpha}{(-\beta)^{3 / 2}}}\end{aligned}$$
则 $x_i=x_0+2 R_e \omega^{i-1} \sqrt[3]{W}=x_0+2 \sqrt{-\beta} \cos \left(\frac{1}{3} \arccos \frac{\alpha}{-\beta^{3 / 2}}+\frac{2 \pi(i-1)}{3}\right)$

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最后修改于1月5日