找出四组正整数(a,b),满足2<a<b,且a^2+b^2+1/a b为整数

先证明如下结论: $$a^2+b^2+1=3 a b \Rightarrow b^2+(3 b-a)^2+1=3 b(3 b-a)$$
证:$$b^2+(3 b-a)^2+1=a^2+b^2+1-6 a b+9 b^2=9 b^2-3 a b=3 b(3 b-a)$$
得证.

易见, $a=1, b=2$时, $\frac{a^2+b^2+1}{a b}=3$.
从而, $a=2,b=3x2-1=5$ 时亦满足$\frac{a^2+b^2+1}{a b}=3$
依次写下来即可.
接下的四组为
$a,b=5,13; 13,34; 34,89; 89,233$

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最后修改于2023年05月20日