α1,α2,…,α5 为空间 R3 中的五个非零向量, 证明: 存在向量 β 满足至少 4 个向量与 β 间的夹 角小于等于 π/2
$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_5$ 为空间 $R^3$ 中的五个非零向量, 证明: 存在向量 $\beta$ 满足至少 4 个向量与 $\beta$ 间的夹 角小于等于 $\frac{\pi}{2}$ 。
问题
解答
首先, 如果这五个向量共线, 任取一向量$\beta$与这五个向量都垂直即满足要求.
其次, 倘若某两个向量不共线, 那么这两个向量生成了一个平面, 这个平面把另外三个向量分成了两部分, 至少两个向量在这个平面的一侧, 这时, 平面指向这一侧的法向量就与这四个向量的夹角小于等于 $\frac{\pi}{2}$.
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最后修改于7月31日
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不妨设a1，a2，…，a5为OA1，OA2，OA3，OA4，OA5，且0A1与OA2不共线，OA1与OA2形成的平面为S。根据抽屉原理，A3，A4，A5中必有两个在平面的同一侧，不妨设 A3，A4在面的同一侧，此时取β为指向该侧的法向量即可。
此为中科大2022年入学考试