问题

已知点P(x, y)的坐标满足, 则x+y/√(x^2+y^2)的取值范围为


已知点$P(x, y)$的坐标满足

$$ \left\{\begin{array}{l} x \leq 0 \\ y \geq x \\ y \leq 2 x+1 \end{array}\right. $$

则$\frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$的取值范围为______

已解决 · 高中数学
提问于2023年05月08日 · 阅读 36

解答

$$ \begin{aligned} \frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}} & =\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ & =\cos \theta+\sin \theta \\ & =\sqrt{2} \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$

下求$\theta$的范围即可

根据题意画出点$(x, y)$的范围

2023-05-08T08:50:03.png

可以看到$\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{5}{4} \pi$,
从而 $\frac{3}{4} \pi \leqslant \theta+\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{3}{2} \pi$
又$\sqrt{2} \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$ 在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5}{4} \pi\right]$单调递减, 从而取值范围是$[-1, \sqrt{2}]$


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最后修改于2023年05月20日

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