问题412: 如图，△ABC中，∠BAC=60°，D、E分别是边BC、边AC上点，满足∠CDE=2∠BAD,DA=DC,若 BD=1,ED=2,则 AB的长为多少？

这个几何题的目的是要找到三角形 \(ABC\) 中 \(AB\) 的长度。首先，让我们总结一下给出的信息：

\( \angle BAC = 60^\circ \)\( D \) 和 \( E \) 分别是 \( BC \) 的内点，且 \( DA = DC \), \( \angle CDE = \angle BAD \).\( BD = 1 \), \( DE = 2 \).

要求计算 \( AB \) 的长度。我们可以使用以下步骤来解题：

步骤 1：利用角度信息

由于 \( \angle BAC = 60^\circ \) 且 \( D \) 在 \( BC \) 上使得 \( DA = DC \)，则 \( D \) 是 \( BC \) 的中点。因此，\( D \) 到 \( B \) 和 \( C \) 的距离相等。

步骤 2：利用线段长度信息

已知 \( BD = 1 \) 且 \( DE = 2 \)，且 \( D \) 是 \( BC \) 的中点，所以 \( DC = DB = 1 \)。

步骤 3：构建三角形和计算

由于 \( D \) 是 \( BC \) 的中点，那么 \( BC = BD + DC = 1 + 1 = 2 \)。

现在，我们已经知道 \( \triangle ABC \) 是一个角 \( BAC \) 为 \( 60^\circ \) 的等腰三角形（因为 \( \angle BAC = 60^\circ \)，且 \( DA = DC \) 暗示 \( D \) 在 \( BC \) 的中点），我们可以得出 \( AB = AC \)。使用等腰三角形的性质和 \( BC \) 的长度计算 \( AB \)。

步骤 4：使用余弦定律或三角形的特性

对于等腰三角形 \( \triangle ABC \)，其中 \( \angle BAC = 60^\circ \) 且 \( BC = 2 \)，\( AB \) 的长度可以通过余弦定律来计算：

$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$

将 \( a = b = AB \), \( C = 60^\circ \), \( c = 2 \) 代入，得：

$$ 2^2 = AB^2 + AB^2 - 2 \cdot AB \cdot AB \cdot \frac{1}{2} $$

简化后：

$$ 4 = 2AB^2 - AB^2 $$

$$ AB^2 = 4 $$

$$ AB = 2 $$

因此，\( AB \) 的长度为 2。