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问题412: 如图,△ABC中,∠BAC=60°,D、E分别是边BC、边AC上点,满足∠CDE=2∠BAD,DA=DC,若 BD=1,ED=2,则 AB的长为多少?



老师不会写

如图,△ABC中,∠BAC=60°,D、E分别是边BC、边AC上点,满足∠CDE=2∠BAD,DA=DC,若
BD=1,ED=2,则 AB的长为多少?

好题 · 已解决 · 初中数学
提问于5月25日 · 阅读 357

解答

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最后修改于7月2日

  1. 这个几何题的目的是要找到三角形 (ABC) 中 (AB) 的长度。首先,让我们总结一下给出的信息:

    ( \angle BAC = 60^\circ )( D ) 和 ( E ) 分别是 ( BC ) 的内点,且 ( DA = DC ), ( \angle CDE = \angle BAD ).( BD = 1 ), ( DE = 2 ).

    要求计算 ( AB ) 的长度。我们可以使用以下步骤来解题:

    步骤 1:利用角度信息

    由于 ( \angle BAC = 60^\circ ) 且 ( D ) 在 ( BC ) 上使得 ( DA = DC ),则 ( D ) 是 ( BC ) 的中点。因此,( D ) 到 ( B ) 和 ( C ) 的距离相等。

    步骤 2:利用线段长度信息

    已知 ( BD = 1 ) 且 ( DE = 2 ),且 ( D ) 是 ( BC ) 的中点,所以 ( DC = DB = 1 )。

    步骤 3:构建三角形和计算

    由于 ( D ) 是 ( BC ) 的中点,那么 ( BC = BD + DC = 1 + 1 = 2 )。

    现在,我们已经知道 ( \triangle ABC ) 是一个角 ( BAC ) 为 ( 60^\circ ) 的等腰三角形(因为 ( \angle BAC = 60^\circ ),且 ( DA = DC ) 暗示 ( D ) 在 ( BC ) 的中点),我们可以得出 ( AB = AC )。使用等腰三角形的性质和 ( BC ) 的长度计算 ( AB )。

    步骤 4:使用余弦定律或三角形的特性

    对于等腰三角形 ( \triangle ABC ),其中 ( \angle BAC = 60^\circ ) 且 ( BC = 2 ),( AB ) 的长度可以通过余弦定律来计算:

    $$ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C $$

    将 ( a = b = AB ), ( C = 60^\circ ), ( c = 2 ) 代入,得:

    $$ 2^2 = AB^2 + AB^2 - 2 \cdot AB \cdot AB \cdot \frac{1}{2} $$

    简化后:

    $$ 4 = 2AB^2 - AB^2 $$

    $$ AB^2 = 4 $$

    $$ AB = 2 $$

    因此,( AB ) 的长度为 2。

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