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问题411: 定积分计算


高等数学 · 已解决
提问于5月25日 · 阅读 121

解答

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最后修改于5月31日

  1. 这道题涉及积分和递推关系的证明。我们一步步解决各部分问题。

    (i) 证明积分关系

    首先,我们需要证明:
    [
    \int_0^1 x^{n-1}(1-x)^n \, dx = \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx
    ]
    我们可以通过代换来证明这个等式。令 ( u = 1 - x ),那么 ( du = -dx )。积分的限度也随之改变:当 ( x = 0 ) 时, ( u = 1 );当 ( x = 1 ) 时, ( u = 0 )。

    因此,原积分变为:
    [
    \int_0^1 x^{n-1}(1-x)^n \, dx = \int_1^0 (1-u)^{n-1}u^n (-du) = \int_0^1 u^n (1-u)^{n-1} \, du
    ]
    这正好是 ( \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx ),因此证明了这个等式。

    接下来,我们要推导出:
    [
    2 \int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx = I_{n-1}
    ]
    由上面的等式,我们知道:
    [
    \int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx = \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx
    ]
    因此,
    [
    2 \int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx = \int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx + \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx = I_{n-1}
    ]

    最后,我们证明:
    [
    I_n = \frac{n}{n+1} \int_0^1 x^{n-1}(1-x)^{n+1} \, dx
    ]
    令 ( I_n = \int_0^1 x^n (1-x)^n \, dx ),我们使用分部积分,设 ( u = x^n ),( dv = (1-x)^n dx ),于是 ( du = nx^{n-1} dx ), ( v = -\frac{(1-x)^{n+1}}{n+1} )。我们得到:
    [
    I_n = \left[ -\frac{x^n (1-x)^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 + \int_0^1 \frac{n}{n+1} x^{n-1} (1-x)^{n+1} \, dx
    ]
    边界项为0,所以:
    [
    I_n = \frac{n}{n+1} \int_0^1 x^{n-1}(1-x)^{n+1} \, dx
    ]
    这证明了所需的公式。

    (ii) 证明 ( I_n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} )

    利用递推关系 ( I_n = \frac{n}{2(2n+1)} I_{n-1} ),并结合 ( I_0 = 1 ),我们使用数学归纳法证明。

    假设 ( I_k = \frac{(k!)^2}{(2k+1)!} ) 对于 ( k ) 成立,我们需要证明 ( I_{k+1} ) 也满足这个形式:
    [
    I_{k+1} = \frac{k+1}{2(2(k+1)+1)} I_k = \frac{k+1}{2(2k+3)} \cdot \frac{(k!)^2}{(2k+1)!} = \frac{(k+1)!^2}{(2k+3)!}
    ]
    所以对于所有的正整数 ( n ), ( I_n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} ) 成立。

    (iii) 使用代换 ( x = \sin^2 \theta ) 证明 ( I_{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{8} )

    我们需要计算:
    [
    I_{\frac{1}{2}} = \int_0^1 x^{1/2}(1-x)^{1/2} \, dx
    ]
    用 ( x = \sin^2 \theta ) 替换, ( dx = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta ),积分限度从 ( \theta = 0 ) 到 ( \theta = \frac{\pi}{2} )。于是变为:
    [
    I_{\frac{1}{2}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta (1 - \sin^2 \theta)^{1/2} 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \cos^2 \theta \, d\theta
    ]
    利用 ( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta ) 和对称性,我们可以求得:
    [
    I_{\frac{1}{2}} = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, d\theta = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}
    ]

    计算 ( I_2 )

    根据之前的结论:
    [
    I_2 = \frac{(2!)^2}{(2 \cdot 2 + 1)!} = \frac{4}{5!} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}
    ]

    所以, ( I_2 = \frac{1}{30} )。

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