问题411: 定积分计算

这道题涉及积分和递推关系的证明。我们一步步解决各部分问题。

(i) 证明积分关系

首先，我们需要证明：
\[
\int_0^1 x^{n-1}(1-x)^n \, dx = \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx
\]
我们可以通过代换来证明这个等式。令 \( u = 1 - x \)，那么 \( du = -dx \)。积分的限度也随之改变：当 \( x = 0 \) 时， \( u = 1 \)；当 \( x = 1 \) 时， \( u = 0 \)。

因此，原积分变为：
\[
\int_0^1 x^{n-1}(1-x)^n \, dx = \int_1^0 (1-u)^{n-1}u^n (-du) = \int_0^1 u^n (1-u)^{n-1} \, du
\]
这正好是 \( \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx \)，因此证明了这个等式。

接下来，我们要推导出：
\[
2 \int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx = I_{n-1}
\]
由上面的等式，我们知道：
\[
\int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx = \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx
\]
因此，
\[
2 \int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx = \int_0^1 x^{n-1} (1-x)^n \, dx + \int_0^1 x^n (1-x)^{n-1} \, dx = I_{n-1}
\]

最后，我们证明：
\[
I_n = \frac{n}{n+1} \int_0^1 x^{n-1}(1-x)^{n+1} \, dx
\]
令 \( I_n = \int_0^1 x^n (1-x)^n \, dx \)，我们使用分部积分，设 \( u = x^n \)，\( dv = (1-x)^n dx \)，于是 \( du = nx^{n-1} dx \)， \( v = -\frac{(1-x)^{n+1}}{n+1} \)。我们得到：
\[
I_n = \left[ -\frac{x^n (1-x)^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 + \int_0^1 \frac{n}{n+1} x^{n-1} (1-x)^{n+1} \, dx
\]
边界项为0，所以：
\[
I_n = \frac{n}{n+1} \int_0^1 x^{n-1}(1-x)^{n+1} \, dx
\]
这证明了所需的公式。

(ii) 证明 \( I_n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} \)

利用递推关系 \( I_n = \frac{n}{2(2n+1)} I_{n-1} \)，并结合 \( I_0 = 1 \)，我们使用数学归纳法证明。

假设 \( I_k = \frac{(k!)^2}{(2k+1)!} \) 对于 \( k \) 成立，我们需要证明 \( I_{k+1} \) 也满足这个形式：
\[
I_{k+1} = \frac{k+1}{2(2(k+1)+1)} I_k = \frac{k+1}{2(2k+3)} \cdot \frac{(k!)^2}{(2k+1)!} = \frac{(k+1)!^2}{(2k+3)!}
\]
所以对于所有的正整数 \( n \)， \( I_n = \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} \) 成立。

(iii) 使用代换 \( x = \sin^2 \theta \) 证明 \( I_{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{8} \)

我们需要计算：
\[
I_{\frac{1}{2}} = \int_0^1 x^{1/2}(1-x)^{1/2} \, dx
\]
用 \( x = \sin^2 \theta \) 替换， \( dx = 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta \)，积分限度从 \( \theta = 0 \) 到 \( \theta = \frac{\pi}{2} \)。于是变为：
\[
I_{\frac{1}{2}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta (1 - \sin^2 \theta)^{1/2} 2 \sin \theta \cos \theta \, d\theta = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \cos^2 \theta \, d\theta
\]
利用 \( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \) 和对称性，我们可以求得：
\[
I_{\frac{1}{2}} = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta \sin^2 \theta \, d\theta = 2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{8}
\]

计算 \( I_2 \)

根据之前的结论：
\[
I_2 = \frac{(2!)^2}{(2 \cdot 2 + 1)!} = \frac{4}{5!} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}
\]

所以， \( I_2 = \frac{1}{30} \)。