问题

问题98: 设 a,b,c∈R,a≠0,6a+b=0 , 函数 f(x)=ax^3+bx^2+cx,f(1)=4a .


设 $a, b, c \in R , a \neq 0,6 a+b=0$, 函数 $f(x)=a x^3+b x^2+c x, f(1)=4 a$.
(1)讨论函数 $f(x)$ 的单调性;
(2) 若 $0 \leq x \leq 3$ 时, 函数 $y=f(x)-x e ^{-x}$ 有三个零点 $x_1, x_2, x_3$, 其中 $x_1<x_2<x_3$, 试比较 $x_1+x_2+x_3$ 与 2 的大小关系, 并说明理由.

已解决 · 高中数学
提问于1月16日 · 阅读 95

解答

(1) 由 $6 a+b=0$ 得 $b=-6 a$.
由 $f(1)=a+b+c=4 a$, 得 $c=3 a-b=9 a$
从而 $f(x)=a x^3-6 a x^2+9 a x=a\left(x^3-6 x^2+9 x\right)$

$$ f^{\prime}(x)=a\left(3 x^2-12 x+9\right)=3 a(x-1)(x-3) , x=1 \text { 或3 时 } f^{\prime}(x)=0 $$

若 $a>0$ , $x>3$ 或 $x<1$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增。
$1<x<3$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减。
若 $a<0$ , $x>3$ 或 $x<1$ 时, $f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减。
$ x<3$ 时, $f^{\prime}(x)>0 , f(x)$ 单调递增。

2024-01-19T02:36:50.png


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最后修改于1月19日

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