问题

问题47: 已知 (4√x+1/2√x)^n(n 为正整数) 的二项展开式中.



已知 $\left(\sqrt[4]{x}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)^n(n$ 为正整数) 的二项展开式中.
(1) 若 $C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots=256$, 求所有项的系数之和;
(2) 若 $C_n^0+C_n^1+C_n^2=821$, 求展开式中的有理项的个数;
(3) 若 $n=30$, 求系数最大的项.

已解决 · 高中数学 二项式定理 · 二项式展开
提问于2023年05月16日 · 阅读 78

解答

(1)

$$ \begin{aligned} & (1+1)^n=C_n^0+C_n^1+\cdots+C_n^n \\ & (1-1)^n=C_n^0-C_n^1+\cdots+C_n^n(-1)^n \end{aligned} $$

两式相加得$2^n=2\left(C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots\right)$
从而 $C_n^0+C_n^2+C_n^4+\cdots=2^{n-1}=256=2^8$
故所有项系数和为 $\left(1+\frac{1}{2}\right)^9=\left(\frac{3}{2}\right)^9=\frac{19683}{512}$

(2)
$C_n^0+C_n^1+C_n^2=1+n+\frac{n(n-1)}{2}=821$. 得 $n=40$
第i项为 $C_n^i(\sqrt[4]{x})^i\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)^{n-i}=C_{40}^i \cdot \frac{1}{2^{40-i}} x^{\frac{i}{4}-\frac{40-i}{2}}$
x的指数为 $\frac{i}{4}-\frac{40-i}{2}=\frac{3 i}{4}-20$
只有$\frac{3}{4} i \geqslant 20$ 且 $4|i$才是有理项,
从而i可取$28, 32, 36, 40$, 共四项是有理项。

(3)
$n=30$ 时,第i项是 $C_{30}^i(\sqrt[4]{x})^i\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)^{30-i}=C_{30}^i \cdot \frac{1}{2^{30-i}} x^{\frac{3}{4}i-15}$
设 $a_i=C_{30}^i \cdot \frac{1}{2^{30-i}}$ 则 $\frac{a_{i+1}}{a_i}=\frac{2 C_{30}^{i+1}}{C_{30}^i}=\frac{2(30-i)}{i+1}$,
令 $\frac{a_{i+1}}{a_i}>1$ ,得 $i<\frac{59}{3}<20$.
从而 $\frac{a_{20}}{a_{19}}>1 , \frac{a_{21}}{a_{20}}<1$ ,故第 20 项多数最大,为$C_{30}^{20} \frac{x^0}{2^{10}}=\frac{C_{30}^{20}}{2^{10}}$


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最后修改于1月22日

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