问题

设R为幂级数∑_n=1^∞ a_n x^n 的收敛半径, r是实数,则( )

设 $R$ 为幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径, $r$ 是实数,则( )

A. 当 $\sum^{\infty}_{n=1} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时, $|r| \geqslant R$

B. 当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时, $|r| \leqslant R$

C.当 $|r| \geqslant R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散

D. 当 $|r| \leqslant R$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 收敛

解答

本问题考察幂级数收敛判定，解答本题需要知道以下几点：

由以上三点，我们可以发现：

幂级数子级数的收敛半径一定不小于原级数的收敛半径。

A. 如果$x=r<R$,那么原级数必绝对收敛，从而它的子级数也是绝对收敛，这样子级数就收敛。因此当子级数发散的时候，必有$r \ge R$。

B. 当$x=r>R$时，原级数发散，原级数的子级数也有可能发散。

C. 如果$a_{2n}=0$，那么即便$|r| \ge R$，子级数也可能收敛。

D. 当$|r| = R$时，原级数的收敛性不能确定，从而子级数的收敛性也无法确定。例$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n x^n}{n}$，它的收敛半径是1，当$x=r=1$时，子级数是调和级数的偶数项，发散。

当然直接根据“ 幂级数子级数的收敛半径不小于原级数的收敛半径”，我们可以直接发现A选项是正确的。

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最后修改于2023年05月20日

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